Некий бизнесмен, обеспокоенный усилением терроризма на авиалиниях, обратился за консультацией к математику. «Не беспокойтесь, – сказал тот. – Существует 1 шанс из 1000, что бомба окажется на борту самолета». «Да, но мне приходится так много летать», – возразил бизнесмен. «Возите с собой бомбу,— посоветовал математик,- существует лишь 1 шанс из 1000000, что на борту самолета окажутся 2 бомбы».

Как определить вероятность

Если людей в группе больше, чем дней в году, то по крайней мере у двух из них
дни рождения совпадают. Утверждать, что в группе, состоящей, например, из 60
человек, дни рождения у кого-то непременно должны совпадать, было бы опромет-
чиво: в группу могут входить люди, дни рождения которых приходятся, скажем, на
все дни июня и сентября. Тем не менее можно вычислить, с какой вероятностью
следует ожидать совпадения дней рождения в группах из 2, 3, 4 и т. д. человек.
Как видно из графика, при численности группы 60 человек и выше вероятность сов-
падения близка к 1.

Приведенный анекдот основан на элементарном, но распространенном заблуждении, связанном с теорией вероятностей. Если вероятности двух независимых событий известны (например, равны 1/1000), то вероятность того, что произойдут оба события, равна произведению вероятностей (в нашем примере 1/1000000). Но события непременно должны быть независимыми: вероятность одного события не должна изменяться в зависимости от того, произойдет или не произойдет другое.
Правило умножения – одна из двух основ теории вероятностей. Другая «основа» – правило сложения. Если известны вероятности двух взаимоисключающих событий (например, выпадение 2 и 3 очков при бросании игральной кости: 2 и 3 не могут выпасть одновременно), то вероятность того, что произойдет либо одно, либо другое событие равна сумме их вероятностей: 2 или 3 очка выпадут с вероятностью 1/6 + 1/6 = 1/3» так как вероятность каждого из этих событий равна 1/6.
Эти два правила позволяют решить большинство задач теории вероятностей. В основе их лежит своего рода вероятностная «атомистическая теория», согласно которой каждое случайное событие состоит из множества элементарных равновероятных событий. Чтобы найти вероятность событий, необходимо вычислить, какая комбинация элементарных событий приводит к благоприятному исходу. Но понятие элементарного события требует осторожного обращения. Ошибочность многих умозаключений связана с неправильным выбором элементарных событий. Какова, например, вероятность того, что на Марсе водятся мартышки? Либо они водятся, либо нет – об этом можно спорить, так как на Марсе никто не бывал, – обе взаимоисключающие ситуации в принципе равновероятны. Следовательно, с вероятностью 1/2 каждое из двух утверждений истинно, и существует 50 шансов из 100, что на Марсе водятся мартышки.

Подброшенная монета падает вверх либо «орлом», либо «решкой».
Вероятность выпадения «орла» и «решки» при каждом бросании
одинакова 1/2. Если монета выпадает «орлом» 8 раз подряд, то
многие склонны думать, что и в девятый раз она выпадет так же.
Но при любом бросании шансы выпадения «орла» и «решки» оста-
ются теми же.

Более тонкий вопрос: какова вероятность выпадения одного «орла» и одной «решки» при двух бросаниях монеты? Можно рассуждать так. Существуют только 3 возможных исхода: два «орла», «орел» и «решка», две «решки». Благоприятен только один из них, и его вероятность равна 1/3. Но такое рассуждение не верно. В действительности имеются 4 равноправных элементарных события: ОО, OP, РО и РР (О-«орел», Р-«решка»). Благоприятны 2 из них. Сле¬довательно, вероятность выпадения «орла» и «решки» равна 1/2.

Подсчет шансов на успех

В игре «Корона и якорь» бросают 3 кости, на гранях которых изображены шесть символов, представленных на рисунке. Каждый игрок ставит на свой символ. Если последний выпадает на 1 кости, банкомет выплачивает игроку удвоенную ставку, если символ выпадает на 2 костях – утроенную, а если на 3 -учетверенную. Предположим, ставки сделаны на все символы. Тогда при каждом бросании в банк поступает 6 ставок. В 20 случаях на 36 (см. рисунок) выпадают различные символы, и банкомет не получает выигрыша, выплачивая 3 угадавшим удвоенные ставки. В 15 случаях из 36 один символ выпадает дважды, угадавшему 1 символ выплачивается удвоенная ставка, угадавшему 2 символа – утроенная, и 1 ставка остается в банке. Если какой-то символ выпадает трижды, выплачивается учетверенная ставка и 2 ставки остаются в банке. Таким образом, за 36 циклов в банке остаются 15 + 2 = 17 ставок из 216 (если на каждый символ игроки делают по 1 ставке), т. е. 7,9% прибыли.

В математике шансы оцениваются в пределах от 0 (невозможное событие) до 1 (достоверное событие). Если из 7 элементарных событий 2 благоприятны, то шансы на успех составляют 2/7 = 0,2857 (28,57%). Смысл этих величин интуитивно ясен, если события происходят многократно. В серии из 7000 испытаний при шансах на успех 2/7 можно ожидать около 2000 благоприятных исходов. Когда элементарные события ясны и понятны (например, при бросании монеты, игральной кости и т.д.), теория вероятностей позволяет однозначно оценить шансы любого исхода.

А Б В
Рациональнее ли планировка американского города Солт-Лейк-Сити (А) планировки старинного Кракова (Б)? Чтобы пересечь город по диагонали, вы должны пройти сумму двух катетов, даже если идете зигзагом. Теория вероятностей показывает, что добраться из одной точки города в другую бывает легче, идя по случайно выбранным прямым (В); это удобно при планировке, подобной-краковской.

В спорте и в деловых операциях оценка шансов на успех субъективна. Оценкой шансов на успех того или иного предприятия занимается специальный раздел теории игр. В детской игре один из участников должен угадать, в какой руке зажал пуговицу его товарищ. Какую стратегию лучше всего избрать тому, кто прячет пуговицу? Если держать пуговицу всегда в одной и той же руке или менять руки поочередно, то партнер вскоре отгадает тактику. Теория игр доказывает, что лучшая стратегия состоит в случайной смене рук (например, в зависимости от исхода бросания монеты). Это полностью гарантирует «держателя пуговицы» от ошибок: даже если партнер разгадает стратегию, то за длинную серию испытаний он выиграет не больше, чем проиграет.
Но если за пуговицу, угаданную в правой руке, причитается вдвое большее вознаграждение, чем за пуговицу, угаданную в левой руке, то партнер, указывая в длинной серии испытаний только на правую руку, может в среднем выиграть больше, чем проиграть. В этой ситуации теория игр рекомендует тому, кто держит пуговицу, менять руки не равновероятно, а в отношении 2:1 в пользу левой руки.

В задаче об игле Бюффона спички бросают наугад на полосатую
скатерть. Если между двумя полосками попадает n спичек, то
вероятность того, что спичка пересечет полоску, равна 2/nπ.
Казалось бы, неожиданное появление здесь числа π объясняется
тем, что спичка может лежать под любым углом к полоске. Задача
Бюффона позволила найти значение π экспериментально, многок-
ратно повторяя бросания.

Теорию игр часто используют для решения конфликтных ситуаций типа тех, что возникают, например в военном деле или экономике. С особой осторожностью понятие вероятности следует применять к одноразовым событиям, которые либо происходят, либо не происходят.

Радиоактивные атомы претерпевают распад с определенной
вероятностью, не зависящей от присутствия или отсутствия
других атомов. Скорость радиоактивного распада вещества
пропорциональна его количеству, умноженному на вероятность
распада атома. Хотя предсказать, когда распадется отдельный
атом, невозможно (А), среднее поведение большого числа ато-
мов вполне предсказуемо (Б). Распадаясь, атомы испускают
электроны, γ-излучение или α-частицы.

Цепочка элементов, каждый из которых должен работать, чтобы функционировала
вся система, менее надежна, чем отдельные ее звенья. Так, цепочка из 10 элементов
(А) (каждый с надежностью 99%) имеет надежность лишь 90%. Один из способов
повышения надежности – дублирование (Б). При параллельном соединении двух цепочек
вероятность срабатывания по крайней мере одной из них равна 99%. Еще лучше
«запараллелить» каждый элемент (В), когда каждая пара – и вся цепочка – срабатывает
с вероятностью 99,9%. Этот принцип использован в тормозной системе автомобля (Г).
Нажатие педали 1 перемещает поршень в цилиндре 2. Три тормоза срабатывают даже
при утечке тормозной жидкости.

Выполняя «акробатические этюды» в воздухе, муха
инстинктивно избегает хищников. Муха изменяет
направление полета случайным образом и в случайные
моменты времени, поэтому ее полет непредсказуем
даже для нее самой. Именно так рекомендует поступать
теория игр.

Теория вероятностей не может предсказать исход такого
случайного события, как бросание игральной кости, но
утверждает, что в длинной серии (из тысяч бросаний)
любое число очков от 1 до 6 выпадает с вероятностью 1/6.