Мы с уверенностью можем утверждать, что в следующую минуту на свете появятся не менее 60 и не более 310 новорожденных. При этом не имеются в виду какие-то конкретные женщины. Это статистическое утверждение лишь предполагает, что средняя рождаемость в мире составляет 3 человека в секунду с вероятностью ошибки не выше 1/1000.
Оценивать вероятность тех или иных событий – дело статистики. Возьмем хотя бы классический пример случайного события: бросание монеты. С вероятностью 0,99 идеально изготовленная монета, брошенная 1 млн. раз подряд, 498 700-501300 раз выпадает вверх «орлом», а в остальных случаях – «решкой». Если же вы подозреваете, что монета фальшивая, то одно бросание не разрешит ваших сомнений. Но если за 1 млн. бросаний «орел» выпадет 500000 раз, то с вероятностью 0,99 можно утверждать, что центр масс смещен на 0,4987-0,5013 толщины в глубь монеты (для идеальной монеты смещение равно 0,5000).
Известный специалист по математической статистике
ван дер Варден вспоминал, что однажды, когда он был
еще ребенком, отец велел ему сорвать наугад сотню
ивовых листочков. Дома они «выстроили их по росту»,
как солдат. Затем отец провел через кончики листьев
кривую и сказал сыну: «Это кривая Кетле. Глядя на нее,
ты видишь, что посредственности всегда составляют
подавляющее большинство и лишь немногие поднимаются
выше или остаются внизу».
Распределение шариков в нижней части доски
Гальтона описывается колоколообразной кривой.
Подобные кривые часто встречаются в статистике.
Она показывает исход событий при действии многих
независимых случайных факторов. Как правило,
исходы колеблются вблизи среднего и отклонения
редки.
Случайность н достоверность
Выражения типа «с вероятностью 0,99» обычно встречаются во всех статистических утверждениях. Вероятность никогда не бывает 100%-ной, и поэтому уважающий себя статистик всегда должен указывать ошибку и доверительные интервалы.
В 99 случаях из 100 он оказался бы прав, указав пределы смещения монеты. Лишь в 1 случае из 100 монета с большим смещением выпала бы вверх «орлом» и «решкой» одинаковое число раз. Если пределы смещения необходимо указать с большей уверенностью, то число бросаний следует увеличить. В статистике существует тесная взаимосвязь между необходимой информацией и надежностью содержащихся в ней сведений, но абсолютная достоверность недостижима.
Искусство практической статистики заключается в знании вероятности, достаточной для решения конкретной задачи, и количества данных, необходимых для обеспечения заданной вероятности.
Статистика и прогнозы
Статистика лежит в основе деятельности страховых компаний. По данным о тысячах людей страховые компании оценивают вероятность смерти клиента и в соответствии с этим назначают размер страхового процента. Специалисты оценивают смещения в данных о смертности различных групп людей подобно тому, как оценивалось смещение монеты при оценке исходов ее бросания.
Покупатели подходят к прилавку непредсказуемым образом.
Сколько продавцов необходимо для эффективного обслужи-
вания? Этим вопросом занимается теория очередей. Она утверж-
дает, что обслуживание двумя продавцами одной очереди более
эффективно, чем обслуживание каждым из них одной очереди.
Теория очередей предсказывает, сколько переключателей необ-
ходимо установить на телефонной станции, чтобы справиться со
случайно поступающими вызовами, сколько механиков должно
быть в штате мастерской и т. д. Эта теория показывает, что если
очередь не бесконечна, то обслуживающее ее лицо или устройст-
во какое-то время обязательно будет бездействовать.
Поднимаясь по лестнице, мы стираем мельчайшие
частицы материала ступеней. По износу ступеней
за несколько лет можно судить о том, по какой
части лестницы в основном ходят люди. Большинство
предпочитает идти посредине, но случаются и откло-
нения вправо и влево – край ступени принимает коло-
колообразную форму нормального распределения.
Это статистическая кривая, возникающая сама собой.
Медицина также широко использует статистику. Именно статистический анализ позволяет установить корреляцию, скажем, между курением сигарет и заболеванием раком легких. Однако интерпретировать такого рода корреляции всегда следует с известной осторожностью.
Статистика не объясняет, почему курильщики более подвержены раку легких, чем некурильщики. Не исключено, что люди, предрасположенные к этому заболеванию, склонны к курению. При всей странности подобной гипотезы статистика не вправе сбрасывать ее со счетов.
Молекулы и магнитная лента
В некотором смысле можно считать, что статистика и вероятность правят миром, так как поведение отдельных атомов и молекул носит случайный характер. Его можно предсказывать надежно лишь в том случае, если речь идет о мириадах атомов и молекул. Маловероятно, хотя теоретически вполне возможно, что молекулы воздуха устремятся в одну сторону и где-то образуется разрежение. Однако в меньших масштабах такие флуктуации молекулярного движения возможны, и время от времени это наблюдается в современных, очень чувствительных приборах. Например, высококачественный усилитель звука, включенный на полную мощность, издает характерное шипение – «отзвук» случайного движения электронов во входной цепи. Усилитель как бы перерабатывает информацию о хаотическом движении электронов, и такая неопределенность не устранима полностью.
Измеряя скорости молекул в газе, например в парах ртути,
можно получить кривую, известную под названием распре-
деления Максвелла. Из нее видно, что разброс скоростей
для основной части молекул относительно невелик и что
существенные отклонения в сторону как больших; так и
малых скоростей встречаются лишь у меньшинства молекул.
Жидкость одного цвета налили поверх жидкостей другого
цвета. Вскоре граница между жидкостями стала размываться
и со временем образовалась однородная смесь. Каждая моле-
кула совершает случайные движения, статистический эффект
перемещений всех молекул и дает идеальную смесь – самое
неупорядоченное из всех возможных расположений молекул.
Постепенное, но неизбежное увеличение беспорядка – один
из основных законов физики.
С повышением температуры (от А через Б к В) интенсивность
движения молекул возрастает. Максимум кривой Максвелла
понижается и смещается в сторону более высоких скоростей,
сама кривая становится более пологой, но площадь под кривой
(число молекул) остается неизменной.
Запись на магнитной ленте «отображает» звуковой сигнал на миллионы частичек окиси металла на пленке. Каждая из частиц может находиться в одном из двух состояний, эквивалентных «орлу» и «решке». Чем быстрее движется лента и чем шире дорожка, на которой производится запись, тем больше частиц участвует в записи звука, изменяя свое магнитное состояние. По этой причине высококачественные магнитофоны с большой скоростью (38 см/с) протяжки и широкими дорожками (до 1,26 см) сводят уровень помех до минимума. Бытовые магнитофоны имеют меньшую скорость записи (3,75 см/с) и более узкие дорожки (до 0,05 см). Соответственно число магнитных частиц, участвующих в звукозаписи, здесь меньше и звуковой сигнал воспроизводится хуже. Бросание монет, судьбы курильщиков и прослушивание магнитофонных записей – все эти процессы подчинены одним и тем же статистическим законам. Эти же законы позволяют утверждать, что с вероятностью 0,9999 … вам удастся сделать следующий вдох.
Многие научные приборы регистрируют слабые сигналы
на фоне случайных помех. Стратегия состоит в повторе-
нии измерений: сигнал присутствует всегда, а отклонения
бывают то в одну, го в другую сторону и в среднем вза-
имно уничтожаются. На записи А, сделанной ЯМР-спект-
рографом, на сигнал наложены сильные помехи. Кривая Б
получена наложением 16, а кривая В – 256 таких записей.
На фотопленке светочу вствительные
зерна распределены в слое желатины.
Чтобы зерно при проявлении потемне-
ло (Б), с ним (А) должны столкнуться
два фотона (частицы света). Посколь-
ку движение фотонов хаотично, для
каждого зерна столкновение случайно.
Но в целом столкновений так много (В),
что число проявленных зерен точно
соответствует освещенности (Г).
Металлические частицы на магнитофонной пленке
сильно намагничены. В процессе записи их магнитное
состояние изменяется. Качество записи зависит от
того, сколько частиц изменяет свое состояние.