Математическое отображение ставит в
соответствие элементам одного множества
(А, В, С, D, …) их образы (1, 2, 3, 4, …).
Взаимноднозначность отображения не обя-
зательна, например, элементы В и С
отображаются в 2, элемент D переходит в
3, а в 4 не отображается ни один элемент.
Однако отображение должно действовать
на каждый элемент исходного множества.
Если бы не было нижней стрелки, то элемент
Е остался бы без образа, тогда имело бы
место соответствие, но не отображение.
Умеете ли вы читать карту, технический чертеж, радио- или электрическую схему? Знаете ли вы азбуку Морзе? Если да, то вы математик, потому что карта, чертеж и т. д. – примеры математических отображений. Под отображением мы понимаем установление соответствия между элементами двух множеств. Каждой точке на географической карте соответствует определенная точка на поверхности Земли. Чертежи и радиосхемы также представляют собой отображение определенных характеристик физических объектов на бумаге.
Свет передается по волокну из одной точки в другую.
Пучок волокон может отображать некоторый предмет
без искажений (А), с уменьшением (Б) или с перепуты-
ванием волокон (В). Это – волоконно-оптические
отображения.
На этом рисунке каждая точка на поверхности
земного шара отображается на карту. «Зенитная
проекция» здесь – это отображение южного
полушария. Каждая точка проектируется вдоль
прямой, проведенной через нее из Северного
полюса, на плоскость, касательную к Южному
полюсу. Экватор, как и остальные параллели,
проектируется в окружность, меридианы – в
радиусы. Масштаб карты непостоянен: к краю
карты он быстро увеличивается.
Смысл отображений
Анаморфные изображения передают привычные нам формы в сильно
искаженном виде. Подобно картографу, вычерчивающему в соот-
ветствующей проекции искривленную поверхность Земли на плоском
листе бумаги, художник, создавая анаморфозы, занимается отображениями.
Вытянутое пятно в правом нижнем углу фрагмента картины «Испанские
послы» Ханса Хольбейна (1533) – «образ» черепа. Если рассматривать
картину под определенным углом, череп предстает перед зрителем в
неискаженном виде (см. внизу).
Каковы возможности отображений? Нельзя, например, отобразить поверхность сферы на плоский лист бумаги, не пожертвовав при этом одними деталями ради других. Истинные направления на карте искажены, но даже искаженные отображения с математической точки зрения вполне приемлемы – подобно скрытому изображению черепа на картине. Эти, казалось бы, бесформенные пятна в действительности представляют собой анаморфные изображения (правильные пропорции которых восстанавливаются, если рассматривать их под определенным углом при помощи лупы или зеркала).
Математические отображения возможны не только между точками пространства, но и между числами, множествами и другими понятиями. Математики рассматривают также отображение множеств на себя. Именно такие отображения лежат в основе кодирования. Код – это правило, по которому каждая буква в сообщении заменяется какой-нибудь другой буквой того же алфавита, т.е. это сложное отображение алфавита на себя. Более простой пример отображения – таблица умножения, скажем на 2. Каждому числу при этом ставится в соответствие вдвое большее, и, следовательно, задается (если рассматривать не только целые числа, но и дроби) отображение множества всех вещественных чисел на себя.
Не все отображения взаимно-однозначны. Например, умножение на 0 задает отображение, переводящее все числа в 0. Но любое отображение должно сопоставлять каждому элементу из области, на которой оно действует, вполне определенный образ. Вспомните старую шутку о брадобрее, брившем всех жителей селения, которые не брились сами. Ситуацию описывает отображение, переводящее тех жителей селения, кто бреется сам, в себя, а всех остальных – в цирюльника. Но такое отображение не вполне определено: как поступить с цирюльником? Переходит ли он при отображении в самого себя? (То есть бреется ли он сам?) Если так, то он не должен бриться сам, а если он не бреется сам, то отображение должно переводить его в самого себя.
Наоборот, схема возможных браков между n мужчинами и n женщинами, где m -любое целое число, задает вполне определенное отображение и множество возможных супружеских пар. Предположим, каждый из n мужчин и каждая из n женщин отдает предпочтение лишь одному партнеру. Тогда из всех возможных отображений (разбиений множества мужчин и женщин на пары) лишь одно устойчиво.
Проекции в черчении – это также отображения,
при которых в одну и ту же точку образа переходят
многие точки реального предмета. На синей тре-
угольной проекции все точки ребра А В переходят
в одну вершину треугольника. Эти точки сохраняют
свое тождество на желтой проекции, но утрачивают
его на красной. Все проекции «сжимают» инфор-
мацию, поэтому чертежник пользуется тремя проек-
циями.
Электронная схема – это отображение, не
передающее ни масштаба, ни формы деталей.
Связи между элементами изображаются
условно. Например, провода изображают
в виде прямых или ломаных.
Схема этого радиоприемника, изображенная
на рисунке выше. На первый взгляд между
ними нет ничего общего, но они связаны
отображением: на схеме и в действительности
все детали соединены одинаково. При монтаже
радиоприемников условности, соблюдаемые
при вычерчивании схем, отпадают: детали
располагают возможно компактнее, поскольку
они могут взаимодействовать через электричес-
кие и магнитные поля.
Отображение «одного на другое»
В приведенных примерах речь шла только о дискретных отображениях. В отличие от отображений множеств точек на поверхности или множества всех вещественных чисел дискретные отображения устанавливают соответствия между множествами с конечным числом элементов. Отображение множества абонентов телефонной сети на множество номеров их телефонов дискретно. Каждый абонент имеет свой номер, но среди телефонных номеров встречаются не все числа. Например, там нет такого числа, как 0000000. Резервный запас телефонных номеров находится в распоряжения телефонной станции. Этот пример иллюстрирует еще одно свойство отображений. Прежде мы имели дело с отображениями, переводящими точки в точки, числа в числа, людей в людей. Телефонное «отображение» переводит людей в номера.
Отображение одного множества на совершенно другое – удобный математический прием. Например, аналитическая геометрия «отображает» геометрию на алгебру. Каждой геометрической кривой ставится в соответствие уравнение, каждой геометрической теореме – алгебраическое соотношение. При этом все геометрические зависимости сохраняются, что позволяет сводить трудные (например, многомерные) геометрические задачи к более простым алгебраическим, а полученные решения переводить снова на язык геометрии.
Еще одним примером такого отображения служит азбука Морзе. Цифры и буквы она переводит в различные комбинации точек и тире. Те же в свою очередь преобразуются в короткие и длинные вспышки света или импульсы электрического тока.
Многое, из того, чем занимаются ученые и инженеры, по существу, сводится к отображению реального мира в некоторую систему символов. Астроном отображает положения небесных тел в уравнения их движения. Производя вычисления, он отображает уравнения в положения небесных тел в будущем и получает возможность, например, предсказывать затмения.
Так один психолог отобразил эмоции на «тело эмоций».
Самые сильные эмоции отображены на верхний слой;
второй слой – ослабленные варианты тех же эмоций
(обозначены начальными буквами): восторг, гнев,
внимательность, отвращение и т.д. Следующий слой
образуют радость, недовольство, интерес, неприязнь
и т. д. Нижний слой соответствует безразличию.
Любую последовательность эмоций можно отождествить
с определенным «ходом» сквозь «тело эмоций».
Отрезок (А) можно отобразить на квадрат (Б) так, что каждой точке
отрезка будет соответствовать определенная точка квадрата, но
бесконечно многим точкам квадрата будет соответствовать более
чем одна точка отрезка. Чтобы осуществить такое отображение
(построить кривую Пеано), отрезок необходимо довольно причудливым
образом «уложить» на квадрат: В – один из начальных этапов укладки.
«Отображение» теории в практику
Все научные теории и инженерные расчеты также сводятся к тем или иным отображениям. Расчеты, например, позволяют заранее утверждать, что проектируемый самолет может летать. Как и при составлении географических карт в научно-технических «отображениях» приходится жертвовать одними деталями, чтобы сохранить другие.
«Математика – искусство говорить об одном и том
же различными словами» (Бертран Расселл). Кривые –
это геометрия, их уравнения – алгебра, отображение,
переводящее одно в другое, – аналитическая геомет-
рия. Две кривые пересекаются в точках А и В. Их
уравнения допускают решения, которые дают координаты
точек А и В. Прямая пересекает одну из кривых в точках
D, Е и С; их координаты можно найти, решив систему
уравнений кривой и прямой.
Начальная скорость снаряда и угол возвышения отображены
на дальность полета. Плоскость ОАВ – «карта» углов и скоростей:
высота точки Р соответствует углу возвышения, а расстояние
по горизонтали от прямой OA – начальной скорости снаряда.
Длина отрезка PS, перпендикулярного плоскости ОАВ, указывает
дальность при заданных угле и скорости. Видно, что с увеличением
начальной скорости дальность возрастает и достигает максимума
при угле 45°.
Груз, подвешенный на пружине в воде, и электрическая
цепь переходят друг в друга при отображении. Выведенный
из состояния равновесия груз совершает колебания, которые
постепенно затухают; подобные затухающие колебания
вызывает в цели и электрический импульс В обоих случаях
имеется накопитель энергии (пружина и конденсатор),
инерционный элемент (груз и индуктивная катушка) и элемент,
рассеивающий энергию (вода и резистор).